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圖論與圖學習基礎教程#

引言#

圖（Graph）是一種表示實體及其關係的強大數據結構，廣泛應用於社交網絡、分子結構分析、推薦系統等領域。本教程將介紹圖論基礎知識、圖的表示方法、常見類型及圖學習任務，幫助讀者構建對圖數據的系統性理解。

一、預習資料#

1. 圖論基礎

   • 核心概念：節點（Node/Vertex）、邊（Edge）、鄰接矩陣（Adjacency Matrix）。
   • 推薦閱讀：GeeksforGeeks Graph Theory（重點閱讀圖的定義與基本操作）。
   • 目標：理解 “節點表示實體，邊表示關係” 的核心思想。

2. 機器學習基礎

   • 關鍵知識點：監督學習（帶標籤訓練）、非監督學習（無標籤聚類）、半監督學習（部分標籤）。
   • 推薦工具：Scikit-learn Documentation（熟悉分類與聚類算法）。
   • 目標：掌握如何將機器學習方法應用於結構化數據。

二、圖的表示方法#

1. 鄰接矩陣（Adjacency Matrix）#

• 定義：用方陣 (A) 表示節點間的連接關係。若節點 ( i ) 與 ( j ) 之間有邊，則 ( A [i][j] = 1 )（無權圖）或邊的權重（加權圖）。
• 示例：
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  # 3個節點的無向圖（節點0-1、1-2相連）
  Adjacency Matrix = [
    [0, 1, 0],
    [1, 0, 1],
    [0, 1, 0]
  ]
  

• 特點：
  • 優點：快速判斷兩節點是否相連（時間複雜度 (O (1) )）。
  • 缺點：空間複雜度 (O (N^2) )，不適用於稀疏圖（邊數遠小於 ( N^2 ) 的圖）。

2. 鄰接列表（Adjacency List）#

• 定義：用列表存儲每個節點的鄰居。例如，節點 (i) 的鄰居存儲為列表 ( [j, k, ...] )。
• 示例：
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  # 同上3個節點圖的鄰接列表
  Adjacency List = {
    0: [1],
    1: [0, 2],
    2: [1]
  }
  

• 特點：
  • 優點：空間複雜度 (O (N + E) )，適合稀疏圖。
  • 缺點：查詢兩節點是否相連需遍歷列表（時間複雜度 (O (d) )，( d ) 為節點度數）。

三、圖的類型#

1. 有向圖 vs 無向圖#

• 鄰接矩陣區別：無向圖的鄰接矩陣是對稱的，有向圖不一定對稱。

2. 加權圖 vs 非加權圖#

四、常見圖學習任務#

1. 節點分類（Node Classification）#

• 目標：預測圖中節點的類別標籤。
• 示例：
  • 社交網絡中預測用戶的興趣領域（標籤：科技、體育等）。
  • 引用網絡中預測論文的研究主題。
• 方法：利用圖神經網絡（GNN）聚合鄰居信息（如 GCN、GraphSAGE）。

2. 連接預測（Link Prediction）#

• 目標：預測節點間是否存在缺失的邊。
• 示例：
  • 推薦系統中預測用戶可能購買的商品（用戶 - 商品邊）。
  • 社交平台推薦 “可能認識的人”。
• 方法：計算節點對的相似度（如 DeepWalk、Node2Vec）。

3. 圖分類（Graph Classification）#

• 目標：預測整個圖的類別。
• 示例：
  • 化學分子圖中判斷分子是否具有毒性。
  • 代碼流程圖分類（如檢測惡意軟件）。
• 方法：全局池化（Global Pooling）後接全連接層（如 Graph Kernels、GIN）。

五、結語#

掌握圖論基礎與圖的表示方法是進行圖學習的前提。後續可結合具體算法（如 PageRank、GNN）深入實踐。建議使用工具如 NetworkX（圖操作）和 PyTorch Geometric（圖神經網絡）進行代碼實戰。

下一步學習建議：

• 實踐鄰接矩陣與鄰接列表的相互轉換（如用 Python 字典實現鄰接列表）。
• 在 Kaggle 上嘗試圖分類任務（如TUDatasets）。